基础知识

## 12.1.1 问题提出

- **问题提出**：K-平均聚类（K-means Clustering）是一种常用的非监督学习算法，广泛应用于数据挖掘和模式识别领域。其主要目的是将数据集中的数据点划分为 $$K$$ 个互斥的簇（Clusters），使得同一簇中的数据点相似度较高，而不同簇中的数据点相似度较低。

举个例子，如果我们有一个包含客户数据的数据集，我们可以使用 K-平均聚类算法将这些客户划分成不同的组，每个组中的客户具有相似的购买行为或特征。

## 12.1.2 相关概念

- **相关概念**：

- **簇（Cluster）**：簇是一个数据点的集合，簇内的数据点彼此之间相似度较高。K-平均聚类算法的目标是将数据点划分为 $$K$$ 个簇。

- **质心（Centroid）**：质心是簇的中心点，它是簇内所有数据点的平均值。每个簇都有一个质心，算法会不断更新质心的位置，直到收敛。

- **距离度量（Distance Metric）**：K-平均聚类通常使用欧氏距离（Euclidean Distance）来衡量数据点与质心之间的距离。其他距离度量如曼哈顿距离（Manhattan Distance）也可以使用。
> $$\text{欧氏距离} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}$$

- **初始化（Initialization）**：质心的初始位置对算法的性能有很大影响。常见的初始化方法有随机初始化和 K-means++ 初始化，后者能有效减少收敛时间和局部最优解的问题。

- **迭代（Iteration）**：K-平均聚类算法通过迭代进行以下步骤，直到质心的位置不再变化或达到最大迭代次数：
  1. **分配步骤**：将每个数据点分配到离其最近的质心对应的簇中。
  2. **更新步骤**：计算每个簇的质心，将其更新为簇内所有数据点的平均值。

### 示例代码

- 使用本平台在线工具进行学习。
- 地址：首页->工作台[【快捷链接】](https://zenodt.com/workbench "【快捷链接】")，点击 ![](/media/202406/企业微信截图_17176610853953(1)_1717661367.png) 按钮，登录即可。

以下是一个使用 Python 和 Scikit-learn 库实现 K-平均聚类算法的示例代码。

```python
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.cluster import KMeans
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一个示例数据集
np.random.seed(0)
X = np.random.rand(100, 2)

# 创建和训练K-平均聚类模型
k = 3
model = KMeans(n_clusters=k, random_state=0)
model.fit(X)

# 获取簇分配结果和质心
labels = model.labels_
centroids = model.cluster_centers_

# 可视化聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, cmap='viridis', marker='o')
plt.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], c='red', marker='x')
plt.title(f'K-means Clustering with {k} Clusters')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()
```

该示例生成了一个随机数据集，使用 K-平均聚类算法将数据点分为 $$K = 3$$ 个簇，并可视化了聚类结果和簇的质心。

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