基于划分的K‐平均聚类算法

## 12.2.1 K-平均方法算法解读

**K-平均方法算法解读**：K-平均聚类是一种迭代的基于划分的聚类算法，旨在将数据集划分为 $$K$$ 个簇，使得簇内数据点的相似性最大化，簇间数据点的相似性最小化。算法的基本步骤如下：

1. **初始化**：随机选择 $$K$$ 个数据点作为初始质心（也可使用 K-means++ 初始化方法来选择更优的初始质心）。

2. **分配步骤**：将每个数据点分配给距离其最近的质心，形成 $$K$$ 个簇。

3. **更新步骤**：计算每个簇的质心，将质心更新为簇内所有数据点的平均值。

4. **迭代**：重复步骤 2 和 3，直到质心的位置不再变化或达到预定的最大迭代次数。

- **质心更新公式**：

> $$\mu_j = \frac{1}{|C_j|} \sum_{x_i \in C_j} x_i$$

其中，$$\mu_j$$ 是第 $$j$$ 个簇的质心，$$C_j$$ 是第 $$j$$ 个簇，$$|C_j|$$ 是簇的大小，$$x_i$$ 是簇内的数据点。

- **分配准则**：使用欧氏距离度量，计算每个数据点与所有质心的距离，将数据点分配给最近的质心。

> $$d(x_i, \mu_j) = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} (x_{ik} - \mu_{jk})^2}$$

### 示例代码

- 使用本平台在线工具进行学习。
- 地址：首页->工作台[【快捷链接】](https://zenodt.com/workbench "【快捷链接】")，点击 ![](/media/202406/企业微信截图_17176610853953(1)_1717661367.png) 按钮，登录即可。

以下是使用 Python 和 Scikit-learn 库实现 K-平均聚类算法的示例代码。

```python
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.cluster import KMeans
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一个示例数据集
np.random.seed(0)
X = np.random.rand(100, 2)

# 创建和训练K-平均聚类模型
k = 3
model = KMeans(n_clusters=k, random_state=0)
model.fit(X)

# 获取簇分配结果和质心
labels = model.labels_
centroids = model.cluster_centers_

# 可视化聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, cmap='viridis', marker='o')
plt.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], c='red', marker='x')
plt.title(f'K-means Clustering with {k} Clusters')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()
```

## 12.2.2 K-平均算法有效性边界

- **K-平均算法有效性边界**：K-平均聚类算法在实际应用中有一定的局限性和边界条件，这些限制会影响算法的有效性和性能。

- **簇数 $$K$$ 的选择**：选择合适的 $$K$$ 值是一个挑战，通常需要通过经验或使用如肘部法则（Elbow Method）和轮廓系数（Silhouette Coefficient）等方法来确定。

- **初始质心选择**：初始质心的选择对聚类结果有较大影响，不同的初始质心可能导致不同的最终簇划分结果。K-means++ 初始化方法可以减少这种影响。

- **数据规模和维度**：对于大规模数据集或高维数据，K-平均算法的计算复杂度较高，收敛速度较慢。可以使用Mini-Batch K-means等变种算法来提高效率。

- **非球形簇和不同密度**：K-平均假设簇是球形且均匀分布的，对形状复杂或密度差异大的数据集表现不佳。

- **处理异常值和噪声**：K-平均对异常值和噪声数据敏感，可能导致质心位置和簇划分结果不准确。可以使用预处理步骤，如异常值检测和数据标准化来改善效果。

### 示例代码：

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肘部法则确定最优 $$K$$ 值

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans

# 生成一个示例数据集
np.random.seed(0)
X = np.random.rand(100, 2)

# 使用肘部法则确定最优K值
inertia = []
K = range(1, 10)
for k in K:
    kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=0)
    kmeans.fit(X)
    inertia.append(kmeans.inertia_)

# 可视化肘部法则结果
plt.plot(K, inertia, 'bx-')
plt.xlabel('Number of clusters (K)')
plt.ylabel('Inertia')
plt.title('Elbow Method For Optimal K')
plt.show()
```

通过了解K-平均聚类算法的基本原理、算法步骤和有效性边界，可以更好地应用该算法进行数据聚类，并根据具体应用场景选择合适的参数和优化方法。

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