支持向量机的SMO算法

## 1.SMO算法的解读

- 支持向量机的学习策略是两类样本的间隔最大化，等价于给定样本约束下求最大距离分隔超平面的二次规划问题。支持向量机的最优目标函数为求解凸二次规划问题。凸二次规划问题的求解是全局最优解，可以选用很多最优化算法，如极速下降法、牛顿法等。目前，存在很多快速实现算法。本节主要讲述SMO算法，是一个被广泛应用的SVM优化算法。

- **SMO算法的解读**：序列最小优化（Sequential Minimal Optimization，SMO）算法是训练支持向量机的一种有效方法。SMO通过解决一对拉格朗日乘子的子问题，逐步优化目标函数，直至找到全局最优解。

- **算法步骤**：
    1. 初始化所有拉格朗日乘子 $$\alpha_i$$ 为0。
    2. 选择一对 $$\alpha_i$$ 和 $$\alpha_j$$ 进行优化，保证每次迭代后目标函数单调递增。
	
    3. 根据约束条件和KKT条件，更新 $$\alpha_i$$ 和 $$\alpha_j$$ 的值。
    4. 重复步骤2和3，直至所有 $$\alpha_i$$ 收敛。

## 2.SMO算法的有效性边界

- **SMO算法的有效性边界**：SMO算法的有效性取决于以下几个因素：
  - 数据的线性可分性：对于线性不可分的数据，需借助核函数映射到高维空间。
  - 核函数的选择：不同核函数适用于不同类型的数据，需根据具体问题选择合适的核函数。
  - 参数设置：正则化参数和核函数参数的选择对模型性能影响显著，需通过交叉验证选择最优参数。

SMO算法的关键是选择待优化的两个拉格朗日乘子。SMO算法是通过判断是否违反原问题的KKT条件，选择待优化乘子。原问题的KKT条件为：

![](/media/202407/2024-07-22_150245_6243790.6335966182884987.png)

注意到，是否违反KKT条件主要与几个因素相关：拉格朗日乘子$$\alpha_i$$、样本点类别$$y_i$$及超平面参数$$\omega_0$$。在每次完成两个参数的优化后，都要重新计算参数$$\omega_0$$。$$\omega_0$$的更新需要利用两个优化的拉格朗日乘子。这可能出现一种不期望的情况：拉格朗日乘子$$\alpha_i$$已经能使目标函数达到最优，而SMO算法本身并不能确定利用两个优化拉格朗日乘子所得到的$$\omega_0$$是否为使目标函数达到最优的$$\omega_0$$值。换句话说，本来不违反KKT条件的样本点，由于迭代可能出现违反KKT条件的情况，导致后续的计算耗时无用。